Стивен Строгац

Например, Исаак Ньютон применил метод Евклида в структуре своего шедевра «Математические начала натуральной философии». Используя геометрические доказательства, он вывел законы Галилея и Кеплера о движении летящих предметов и планет на основе их собственных глубинных законов движения и гравитации. «Этика» Спинозы[63] следует той же схеме. Полное название книги «Этика, доказанная в геометрическом порядке» (Ethica Ordine Geometrico Demonstrata).

Отрицательные числа более абстрактны, чем положительные. Четыре отрицательные булочки не потрогаешь и не съешь, зато их можно представить. Самое интересное, что в реальном мире отрицательные числа тоже встречаются: долги, перерасход по кредитной карте, минусовые температуры зимой и обозначения подвальных уровней на крытых парковках.

Лучшим из возможных вариантов оказался Массачусетский технологический институт (но он не входил в Лигу плюща). В глазах амбициозного Гелл-Манна это учебное заведение было не очень престижным. Тем не менее он принял предложение. Много лет спустя он признался, что в тот момент подумывал о самоубийстве, но решил этого не делать, как только понял, что посещение Массачусетского технологического института и самоубийство нельзя переставить (поменять местами). Он мог бы пойти учиться в Массачусетский технологический институт, а потом убить себя, но не наоборот.

Гелл-Манна, вероятно, впечатлила важность принципа коммутативности. Но в квантовой физике он бы обнаружил, что на самом глубинном уровне природа не подчиняется коммутативному закону. И это тоже хорошо, поскольку благодаря нарушению коммутативного закона мир таков, каков он есть. Именно поэтому материя является твердой и атомы не разрушаются.

Еще на заре появления квантовой механики Вернер Гейзенберг и Поль Дирак обнаружили, что в природе p × q ≠ q × p, где p и q — импульс и координата квантовой частицы. Без этого нарушения коммутативного закона не было бы принципа неопределенности Гейзенберга, атомы бы взорвались и ничего не существовало бы.

Вот почему вам лучше позаботиться о своих p и q.

при записи числа в двоичной системе счисления мы не используем цифру 2, так же как и «цифру» 10 при записи чисел в десятичной системе счисления. В двоичной системе 2 записывается как 10 (один и ноль), а это означает одну двойку и ноль единиц. Аналогично этому 4 можно записать как 100 (одна четверка, ноль двоек и ноль единиц), а 8 — как 1000.

алгебра может поразить вас головокружительным сочетанием символов, определений и методов, но, в конце концов, все это сведется лишь к двум вещам: нахождению решений x и работе с уравнениями.

позиционной системой счисления.

Нет худа без добра. Даже неправильные ответы могут быть полезны — если вы осознаете, что они неправильные. Они разоблачают ошибочные аналогии и другие погрешности мышления и помогают облечь суть проблемы в более понятную форму.

проблема в том, что при решении таких задач считается, что вы понимаете правила игры и соглашаетесь с ними, хотя часто они искусственные, а иногда и вообще нелепые.

Этот ценный навык называется математическим моделированием. Ученые используют его всегда, когда применяют математику к явлениям реального мира.

Хотя этот метод сейчас знаком всем студентам, изучающим алгебру, они не осознают, что от него произошло само понятие алгебры. В начале IX века работавший в Багдаде математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми[50] написал фундаментальный учебник, в котором говорилось, что к обеим частям уравнения следует прибавлять величину, равную вычитаемой величине (число 2 в приведенном выше примере). Он назвал этот процесс al-jabr (по-арабски «восстановление»), что позже трансформировалось в «алгебру». Затем, спустя много лет после своей смерти, он опять выиграл этимологический джекпот, поскольку его собственное имя, аль-Хорезми, живет и доныне в слове «алгоритм».